Question

1．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosβ}\\{y=sinβ}\end{array}\right.$ （β為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=4cosθ
（1）將C₁的方程化為普通方程，將C₂的方程化為直角坐標方程；
（2）已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ （$\frac{π}{2}$＜α＜π，t為參數，且t≠0），l與C₁交于點A，l與C₂交于點B，且|AB|=$\sqrt{3}$，求α的值．

Answer 1

分析 （1）利用參數方程與極坐標方程化簡為普通方程即可．
（2）曲線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ （$\frac{π}{2}$＜α＜π，t為參數，且t≠0），化為y=xtanα．由題意可得：|OA|=ρ₁=2cosα，|OB|=ρ₂=4cosα，利用|AB|=$\sqrt{3}$，即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosβ}\\{y=sinβ}\end{array}\right.$ （β為參數），可得普通方程為：（x-1）²+y²=1，
以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=4cosθ，
可得：x²+y²=4x．
（2）曲線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ （$\frac{π}{2}$＜α＜π，t為參數，且t≠0），化為y=xtanα．
由題意可得：|OA|=ρ₁=2cosα，|OB|=ρ₂=4cosα，
∵|AB|=$\sqrt{3}$，
∴|OA|-|OB|=-2cosα=$\sqrt{3}$，即cosα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又$\frac{π}{2}$＜α＜π，
∴α=$\frac{5π}{6}$．

點評 本題考查了直角坐標與極坐標的互化、參數方程化為普通方程、兩點之間的距離、圓的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．