Question

已知
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求角α-β的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用二倍角的余弦函數公式化簡cos2α，把cosα的值代入求出cos2α的值，由2α的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出sin2α的值，再利用同角三角函數間的基本關系即可求出tan2α的值；
（Ⅱ）由cosα和cosβ的值，根據α，β的范圍，利用同角三角函數間的基本關系分別求出sinα和sinβ的值，且由cosα和cosβ的大小關系，根據余弦函數在（0，）為減函數，得到α-β的范圍，然后根據兩角和與差的余弦函數公式化簡cos（α-β），把各自的值代入即可求出值，利用特殊角的三角函數值即可求出α-β的度數．
解答：解：（Ⅰ）∵cos2α=2cos²α-1=-，且2α∈（0，π），
∴sin2α==，
則tan2α==-；

（Ⅱ）∵，
∴sinα=，sinβ=，
又∵cosα＜cosβ，∴α＞β，即＞α-β＞0，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=，
則α-β=．
點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，兩角和與差的余弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵，同時注意角度的范圍．