Question

已知定義在R上的可導函數y=f（x）的導函數為f′（x），滿足對任意實數x，f（x）+f（-x）=x²，對任意正數x，f′（x）＞x，若f（2-a）-f（a）≥2-2a，則a的范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：令g（x）=f（x）-

1

2

x²，由g（-x）+g（x）=0，可得函數g（x）為奇函數．利用導數可得函數g（x）在R上是增函數，f（2-a）-f（a）≥2-2a，即g（2-a）≥g（a），可得 2-a≥a，由此解得a的范圍．

解答： 解：令g（x）=f（x）-

1

2

x²，
∵g（-x）+g（x）=f（-x）-

1

2

x²+f（x）-

1

2

x²=0，
∴函數g（x）為奇函數．
∵x∈（0，+∞）時，g′（x）=f′（x）-x＞0，
故函數g（x）在（0，+∞）上是增函數，故函數g（x）在（-∞，0）上也是增函數，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函數．
f（2-a）-f（a）≥2-2a，等價于f（2-a）-

(2-a)2

2

≥f（a）-

a2

2

，即g（2-a）≥g（a），
∴2-a≥a，解得a≤1，
故答案為：（-∞，1]．

點評：本題主要考查函數的奇偶性、單調性的應用，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．