Question

已知函數．

(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間；

(Ⅱ)如果關于x的方程有實數根，求實數m的取值集合；

(Ⅲ)是否存在正數k，使得關于x的方程f(x)＝kg(x)有兩個不相等的實數根？如果存在，求k滿足的條件；如果不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解(Ⅰ)函數f(x)的定義域是 　　對　2分 　　由 　　因此　5分 　　(Ⅱ)因為 　　所以實數m的取值范圍就是函數的值域　6分 　　對 　　 　　又當x無限趨近于0時，lnx無限趨近于無限趨近于0， 　　進而有無限趨近于 　　因此函數 　　即實數m的取值范圍是　9分 　　(Ⅲ)結論：這樣的正數k不存在　10分 　　下面采用反證法來證明：假設存在正數k，使得關于x的方程有兩個不相等的實數根　11分 　　根據對數函數定義域知都是正數 　　又由(Ⅰ)可知，當x＞0時， 　　 　　再由k＞0，可得 　　由(1)和(2)可得 　　利用比例性質得 　　即(*)　13分 　　由于lnx是區間上的恒正增函數，且 　　又由于是區間上的恒正減函數，且 　　 　　 　　這與(*)式矛盾．因此滿足條件的正數k不存在．　14分