Question

已知函數(shù)的導數(shù)滿足，常數(shù)為方程的實數(shù)根．

⑴若函數(shù)的定義域為I，對任意，存在，使等式

=成立，求證：方程不存在異于的實數(shù)根；

⑵求證：當時，總有成立；

⑶對任意，若滿足，求證．

Answer 1

證明：⑴用反證法，

設方程有異于的實根，即，不妨設，則

，在與之間必存在一點c，，

由題意使等式成立，   

因為，所以必有，但這與矛盾．

因此，如若也是方程的根，則必有，即方程不存在異于的實數(shù)根．

⑵令，

，

為增函數(shù)．

又當時，，即

⑶不妨設，為增函數(shù)，即

又函數(shù)為減函數(shù)．

即

即

∴．