Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c的圖象經過點（0，0），其導函數f'（x）=2x+1，當x∈[n，n+1]（其中n∈N^*）時，f（x）為整數的個數記為a_n．
（1）求a，b，c的值；
（2）求a₁及數列{a_n}的通項公式；
（3）令．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據f（0）=0求得c，進而對函數f（x）的解析式求導，進而求得b和a．
（2）先根據題意可知a_n=（n+1）（n+2）-n（n+1）+1進而求得 a_n+1兩式相減可推斷數列{a_n}是等差數列，進而根據等差數列的通項公式求得答案．
（3）把（2）中求得的a_n代入b_n，進而利用裂項法求和進行放縮即得．
解答：解：（1）∵f（0）=c=0
∴c=0，
f′（x）=2ax+b=2x+1
∴a=1，b=1
（2）當x∈[n，n+1]（其中n∈N^*）時，f（x）為整數的個數記為a_n．
∴a₁=5，
∵f（x）在x∈[n，n+1]上單調遞增，
∴a_n=f（n+1）-f（n）+1=2n+3．
（3）b_n==（ -），
{b_n}的前n項和 S_n=（-+-+…+-）=（ -）．
點評：本題主要考查了等差數列的性質和用裂項法數列求和．高考中數列題往往與不等式、函數等知識綜合考查，屬于中檔題．