Question

（本小題滿分14分）

平面直角坐標系中，已知直線:，定點，動點到直線的距離是到定點的距離的2倍.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）若為軌跡上的點，以為圓心，長為半徑作圓，若過點可作圓的兩條切線,（，為切點），求四邊形面積的最大值．

Answer 1

（本小題滿分14分）

解（1）設點到的距離為，依題意得，

即，                          ………………………………2分

整理得，軌跡的方程為．             ………………………………4分

（2）（法一）設 ，圓：，其中

由兩切線存在可知，點在圓外，

所以，，即，

又為軌跡上的點，所以．

而，所以，，即． ……………………6分

由（1）知，為橢圓的左焦點，

根據橢圓定義知，，

所以，而，

所以，在直角三角形中，

，

，

由圓的性質知，四邊形面積，其中．………10分

即（）．

令（），則，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減．

所以，在時，取極大值，也是最大值，

此時．            …………………………14分

（法二）同法一，四邊形面積，其中．…10分

所以．

由，解得，所以．  ……………………14分