Question

某海濱浴場的岸邊可以近似的看成直線，位于岸邊A處的救生員發現海中B處有人求救，救生員沒有直接從A處游向B處，而是沿岸邊自A跑到距離B最近的D處，然后游向B處．若救生員在岸邊的行進速度是6米/秒，在海中的行進速度是2米/秒．（不考慮水流速度等因素）
（1）請分析救生員的選擇是否正確；
（2）在AD上找一點C，使救生員從A到B的時間最短，并求出最短時間．

Answer 1

分析：（1）分別求出救生員在兩種情況下所用時間，通過比較兩種情況所用的時間即可得到答案；
（2）設出C點到D點的距離，列出救生員從A點到B點所用的總時間，然后通過求導得到當C點到D點距離為多少時能使所用時間最短，同時求出了所用時間的最小值．

解答：解：（1）由圖可知，A到B的距離為300

2

米．
從A處游向B處的時間t1=

300 2

2

=150

2

(s)，
而沿岸邊自A跑到距離B最近的D處，然后游向B處的時間t2=

300

6

+

300

2

=200(s)．
而150

2

＞200，所以救生員的選擇是正確的；
（2）設CD=x，則AC=300-x，BC=

3002+x2

，
救生員從A經C到B的時間t=

300-x

6

+

3002+x2

2

，0≤x≤300
t′=-

1

6

+

x

2 90000+x2

，
令t^′=0，得-

1

6

+

x

2 90000+x2

=0，解得：x=75

2

，
又當0＜x＜75

2

時，t^′＜0；
當75

2

＜x＜300時，t^′＞0．
所以當x=75

2

時，函數t有極小值，也就是最小值．
為t(75

2

)=

300-75 2

6

+

3002+(75 2 )2

2

=50+100

2

（s）．
答：救生員自A點跑到距D點75

2

米處，然后下海直線游到B處所用時間最短為50+100

2

秒．

點評：本題考查了函數模型的選擇及應用，訓練了導數在最大值最小值中的應用，實際問題在建模時一定要注意應有實際意義，此題是中檔題．