Question

【題目】2015年7月9日21時15分，臺風“蓮花”在我國廣東省陸豐市甲東鎮沿海登陸，造成165.17萬人受災，5.6萬人緊急轉移安置，288間房屋倒塌，46.5千公頃農田受災，直接經濟損失12.99億元，距離陸豐市222千米的梅州也受到了臺風的影響，適逢暑假，小明調查了梅州某小區的50戶居民由于臺風造成的經濟損失，將收集的數據分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五組，并作出如圖頻率分布直方圖：
附：臨界值參考公式： ，n=a+b+c+d．

（1）試根據頻率分布直方圖估計小區平均每戶居民的平均損失（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
（2）小明向班級同學發出倡議，為該小區居民損款，現從損失超過4000元的居民中隨機抽出2戶進行捐款援助，投抽出損失超過8000元的居民為ξ戶，求ξ的分布列和數學期望；
（3）臺風后區委會號召該小區居民為臺風重災區捐款，小明調查的50戶居民捐款情況如表，在表格空白外填寫正確數字，并說明是否有95%以上的把握認為捐款數額多于或少于500元和自身經濟損失是否到4000元有關？

	經濟損失不超過4000元	經濟損失超過4000元	合計
捐款超過500元	30
損款不超過500元		6
合計

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

【答案】
（1）解：記每戶居民的平均損失為 元，則

=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000

=3360

（2）解：由頻率分布直方圖可得，損失超過4000元的居民共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15戶，損失超過8000元的居民共有0.00003×2000×50=3戶，因此，ξ可能取值為0，1，2 ， ， ，ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P

則

（3）解：如圖：

	經濟損失不超過4000元	經濟損失超過4000元	合計
捐款超過500元	30	9	39
損款不超過500元	5	6	11
合計	35	15	50

可得 ，

所有95%以上的把握認為捐款數額是否多于或少于500元和自身經濟損失是否4000元有關

【解析】（1）求得各組區間的中點值，計算各個矩形的面積之和即可；（2）由頻率分布直方圖可得，損失超過4000元的居民共有15戶；損失超過8000元的居民共有3戶，因此，ξ可能取值為0，1，2，運用排列組合的知識，可得各自的概率，由期望公式計算即可得到；（3）由（2）可得a，b，c，d，運用臨界值參考公式，計算即可得到結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用頻率分布直方圖的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息．