Question

對定義在實數集R上的函數f₁（x），f₂（x），令F（x）=f₁（x）+f₂（x），已知對任意不同的實數x₁，x₂，|f₁（x₁）-f₁（x₂）|＞|f₂（x₁）-f₂（x₂）|．
（1）若y=f₁（x）是區間D上的增函數，能否確定y=F（x）是區間D上的增函數？若能夠確定，說明理由；若不能，請舉例說明；
（2）若y=f₂（x）是區間D上的增函數，能否確定y=F（x）是區間D上的增函數？若能夠確定，說明理由；若不能，請舉例說明；
（3）求函數f(x)=x2+

1

4x

(x＞0)的單調區間．

Answer 1

分析：（1）設x₁＜x₂由y=f₁（x）是區間D上的增函數可得f₁（x₁）＜f₁（x₂），①若f₂（x）為單調遞增或常函數，則y=F（x）是區間D上的增函數；②若函數f₂（x₁）＞f₂（x₂），則由|f₁（x₁）-f₁（x₂）|＞|f₂（x₁）-f₂（x₂）|可得，-f₁（x₁）+f₁（x₂）|＞f₂（x₁）-f₂（x₂），從而可判斷
（2）例如函數f₁（x）=-3^x，f₂（x）=2^x，則F（x）=2^x-3^x不是單調遞增函數
（3）對函數求導可得f′(x)=2x-

1

4x2

=

8x3-1

4x2

結合x＞0，分別求f′（x）≥0，f′（x）＜0的x的范圍，從而可求函數的單調區間

解答：解：（1）設x₁＜x₂由y=f₁（x）是區間D上的增函數可得f₁（x₁）＜f₁（x₂）
①若f₂（x）為單調遞增或常函數，則y=F（x）是區間D上的增函數
②若函數f₂（x₁）＞f₂（x₂），則由|f₁（x₁）-f₁（x₂）|＞|f₂（x₁）-f₂（x₂）|可得，-f₁（x₁）+f₁（x₂）|＞f₂（x₁）-f₂（x₂）
∴f₁（x₁）+f₂（x₁）＜f₁（x₂）+f₂（x₂）即F（x₁）＜F（x₂）
綜上可得函數F（X）為單調遞增的函數
（2）例如函數f₁（x）=-3^x，f₂（x）=2^x，則F（x）=2^x-3^x不是單調遞增函數
（3）f′(x)=2x-

1

4x2

=

8x3-1

4x2

∵x＞0由f′（x）≥0可得x≥

1

2

，f′（x）＜0可得0＜x＜

1

2

函數f（x）的單調增區間是[

1

2

，+∞），單調減區間是（0，

1

2

）

點評：本題主要考查了利用函數的單調性的定義判斷函數的單調性及利用導數求解函數的單調區間，解題的關鍵是要靈活利用函數單調性的知識．