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已知函數y=f(x)是定義在R上的奇函數,且當x∈(-∞,0)時,不等式f(x)+xf′(x)<0恒成立.若a=30.3•f(30.3),b=(log43)•f(log43),c=(log2
1
4
)•f(log2
1
4
)
,則a,b,c的大小關系是( 。
分析:令g(x)=xf(x),則g′(x)=f(x)+xf′(x),當x∈(-∞,0)時,由于不等式f(x)+xf′(x)<0恒成立,可得g(x)在(-∞,0)上單調遞減.由于函數y=f(x)是定義在R上的奇函數,可得g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),是R上的偶函數.進而得到g(x)在(0,+∞)上是單調遞增函數.再利用指數函數和對數函數的單調性即可得出.
解答:解:令g(x)=xf(x),則g′(x)=f(x)+xf′(x),
當x∈(-∞,0)時,∵不等式f(x)+xf′(x)<0恒成立,∴g(x)在(-∞,0)上單調遞減,
∵函數y=f(x)是定義在R上的奇函數,∴g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),是R上的偶函數.
∴g(x)在(0,+∞)上是單調遞增函數.
log2
1
4
=-2
,∴c=g(-2)=g(2).
而210>33,∴2>30.3
∴2>30.3>1>log43>0,
∴g(2)>g(30.3)>g(log43).
即c>a>b.
故選A.
點評:本題綜合考查了通過構造函數利用導數研究函數的單調性、函數的奇偶性和單調性等基礎知識與基本技能方法,屬于難題.
練習冊系列答案
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-x(1+x)
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[-3,3]
[-3,3]

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(1,3]
(1,3]

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