Question

已知函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，且當x∈（-∞，0）時，不等式f（x）+xf′（x）＜0恒成立．若a=3^0.3•f（3^0.3），b=（log₄3）•f（log₄3），c=(log2

1

4

)•f(log2

1

4

)，則a，b，c的大小關系是（　�。�

A．c＞a＞b

B．a＞c＞b

C．a＞b＞c

D．c＞b＞a

Answer 1

分析：令g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x），當x∈（-∞，0）時，由于不等式f（x）+xf′（x）＜0恒成立，可得g（x）在（-∞，0）上單調遞減．由于函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，可得g（-x）=-xf（-x）=xf（x）=g（x），是R上的偶函數．進而得到g（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數．再利用指數函數和對數函數的單調性即可得出．

解答：解：令g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x），
當x∈（-∞，0）時，∵不等式f（x）+xf′（x）＜0恒成立，∴g（x）在（-∞，0）上單調遞減，
∵函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，∴g（-x）=-xf（-x）=xf（x）=g（x），是R上的偶函數．
∴g（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數．
∵log2

1

4

=-2，∴c=g（-2）=g（2）．
而2¹⁰＞3³，∴2＞3^0.3．
∴2＞3^0.3＞1＞log₄3＞0，
∴g（2）＞g（3^0.3）＞g（log₄3）．
即c＞a＞b．
故選A．

點評：本題綜合考查了通過構造函數利用導數研究函數的單調性、函數的奇偶性和單調性等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．