Question

病人按規定的劑量服用某藥物，測得服藥后，每毫升血液中含藥量y=Ma^x（毫克）與時間y=Ma^x（小時）滿足：前1小時內成正比例遞增，1小時后按指數型函數y=Ma^x（M，a為常數）衰減．如圖是病人按規定的劑量服用該藥物后，每毫升血液中藥物含量隨時間變化的曲線．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）已知每毫升血液中含藥量不低于0.5毫克時有治療效果，低于0.5毫克時無治療效果．求病人一次服藥后的有效治療時間為多少小時？

Answer 1

【答案】分析：（1）當0≤x≤1時，設y=kx，又過（1，4）點，知y=4x；當x＞1時，y=Ma^x，又過（1，4）、（2，2）點，知．由此能求出函數y=f（x）的解析式．
（2）當f（x）時，為有效治療，當0≤x≤1時，由4x，解得；當x＞1時，2^3-x，解得1＜x≤4.4-=．由此能求出病人一次服藥后的有效治療時間．
解答：解：（1）當0≤x≤1時，y與x成正比例，設為y=kx，
又過（1，4）點，∴k=4，
∴y=4x，…（2分）
當x＞1時，y=Ma^x，又過（1，4）、（2，2）點，
∴，解得，
∴．…（6分）
∴y=f（x）=．…（8分）
（2）當f（x）時，為有效治療，
當0≤x≤1時，由4x，解得；
當x＞1時，2^3-x，解得1＜x≤4．
4-=．
∴當時，有治療效果．
所以有效治療時間為小時．…（14分）
點評：本題考查函數在生產生活中的實數據應用，解題時要認真審題，注意分析題設中的數量關系，合理地進行等價轉化．