Question

（1）在平面直角坐標系xOy中，求過橢圓

x=5cos? y=3sin?

（φ為參數）的右焦點且與直線

x=4-2t y=3-t

（t為參數）平行的直線的普通方程；
（2）求直線

x=1+4t y=-1-3t

（t為參數）被曲線ρ=

2

cos(θ+

π

4

)所截得的弦長．

Answer 1

（1）橢圓

x=5cos? y=3sin?

（φ為參數）的普通方程為

x2

25

+

y2

9

=1，右焦點為F（4，0），
直線

x=4-2t y=3-t

（t為參數）的斜率等于

1

2

，故所求直線的普通方程為y-0=

1

2

（x-4），
化簡可得所求直線的普通方程為x-2y-4=0．
（2）直線

x=1+4t y=-1-3t

（t為參數）即 3x+4y+1=0．
曲線ρ=

2

cos(θ+

π

4

)，即ρ²=

2

ρ （cosθcos

π

4

-sinθsin

π

4

）=ρcosθ-ρsinθ，
即 x²+y²=x-y，即 (x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

，表示圓心為C（

1

2

，-

1

2

），半徑等于

2

2

的圓．
圓心C到直線3x+4y+1=0 的距離d=

| 3 2 - 4 2 +1|

9+16

=

1

10

，
由弦長公式可得弦長等于2

r2 -d2

=

7

5

．