Question

（2013•上海）在數列（a_n）中，a_n=2ⁿ-1，若一個7行12列的矩陣的第i行第j列的元素c_ij=a_i•a_j+a_i+a_j（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），則該矩陣元素能取到的不同數值的個數為（　　）

A．18

B．28

C．48

D．63

Answer 1

分析：由于該矩陣的第i行第j列的元素c_ij=a_i•a_j+a_i+a_j=（2ⁱ-1）（2^j-1）+2ⁱ-1+2^j-1=2^i+j-1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），要使a_ij=a_mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）．
則滿足2^i+j-1=2^m+n-1，得到i+j=m+n，由指數函數的單調性可得：當i+j≠m+n時，a_ij≠a_mn，因此該矩陣元素能取到的不同數值為i+j的所有不同和，即可得出．

解答：解：該矩陣的第i行第j列的元素c_ij=a_i•a_j+a_i+a_j=（2ⁱ-1）（2^j-1）+2ⁱ-1+2^j-1=2^i+j-1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），
當且僅當：i+j=m+n時，a_ij=a_mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12），
因此該矩陣元素能取到的不同數值為i+j的所有不同和，其和為2，3，…，19，共18個不同數值．
故選A．

點評：由題意得出：當且僅當i+j=m+n時，a_ij=a_mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）是解題的關鍵．