Question

【題目】已知函數， ，（其中是自然對數的底數）.

（1）， 使得不等式成立，試求實數的取值范圍.

（2）若，求證： .

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：

(1)問題等價于，分別討論函數 的性質可得：實數m的取值范圍為.

(2) 問題等價于，令，可得的最小值為1.

令，其可看作點與點連線的斜率，可得取得最大值為1.據此即可得.

試題解析：

解：（1）因為不等式等價于，

所以， 使得不等式成立，等價于，即，

當時， ，故在區間上單調遞增，所以時， 取得最小值.

又，由于， ， ，

所以，故在區間上單調遞減，因此時， 取得最大值.

所以，所以.

所以實數的取值范圍為.

（2）當時，要證，只要證，

只要證，

只要證，

由于， ，只要證.

下面證明時，不等式成立，

令，則，

當時， ， 單調遞減；

當時， ， 單調遞增.

所以當且僅當時， 取得極小值也就是最小值為1.

令，其可看作點與點連線的斜率，

所以直線的方程為，

由于點在圓，所以直線與圓相交或相切.

當直線與圓相切且切點在第二象限時，直線的斜率取得最大值為1.

故時， ； 時， .

綜上所述：時時， 成立.