Question

已知函數(shù)（a＞0），且函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
（1）求a值；
（2）判斷證明函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

解：（1）∵的定義域為R，且函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（0）=1-a=0，
∴a=1；
（2）f（x）為（-∞，+∞）上的增函數(shù)．
證明：∵，a＞0，
∴f′（x）=2^xln2+（-a）×（-1）2^-xln2=2^xln2（1+a）＞0，
∴f（x）為（-∞，+∞）上的增函數(shù)．
分析：（1）由函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，由f（0）=0可求得a；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，令x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）判斷與0的大小關(guān)系，即可證明．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，考查學(xué)生理解應(yīng)用函數(shù)的奇偶性的概念的能力，分析轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題．