Question

已知圓C的圓心為（1，1），半徑為1．直線l的參數(shù)方程為

x=2+tcosθ y=2+tsinθ

（t為參數(shù)），且θ∈[0，

π

3

]，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（2，2），直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求

|PA|•|PB|

|PA|+|PB|

的最小值．

Answer 1

分析：先根據(jù)題意得出圓C的普通方程，再根據(jù)直線與交與交于A，B兩點(diǎn)，可以把直線與曲線聯(lián)立方程，用根與系數(shù)關(guān)系結(jié)合直線參數(shù)方程的幾何意義，表示出

|PA|•|PB|

|PA|+|PB|

，最后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得到求解最小值．

解答：解：圓C的普通方程是（x-1）²+（y-1）²=1，
將直線l的參數(shù)方程代入并化簡(jiǎn)得t²+2（sinθ+cosθ）t+1=0，
由直線參數(shù)方程的幾何意義得
|PA|+|PB|=2|sinθ+cosθ|，|PA|•|PB|=1
所以

|PA|•|PB|

|PA|+|PB|

=

1

2 2 |sin(θ+ π 4 )|

，θ∈[0，

π

3

]，
當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，

|PA|•|PB|

|PA|+|PB|

取得最小值

1

2 2 ×1

=

2

4

，
所以

|PA|•|PB|

|PA|+|PB|

的最小值是

2

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查參數(shù)方程的優(yōu)越性，及直線與曲線相交的問(wèn)題，在此類(lèi)問(wèn)題中一般可用聯(lián)立方程式后用韋達(dá)定理求解即可，屬于綜合性試題有一定的難度．