Question

已知圓C的圓心為（1，1），半徑為1．直線l的參數方程為

x=2+tcosθ y=2+tsinθ

（t為參數），且θ∈[0，

π

3

]，點P的直角坐標為（2，2），直線l與圓C交于A，B兩點，求

|PA|•|PB|

|PA|+|PB|

的最小值．

Answer 1

圓C的普通方程是（x-1）²+（y-1）²=1，
將直線l的參數方程代入并化簡得t²+2（sinθ+cosθ）t+1=0，
由直線參數方程的幾何意義得
|PA|+|PB|=2|sinθ+cosθ|，|PA|•|PB|=1
所以

|PA|•|PB|

|PA|+|PB|

=

1

2 2 |sin(θ+ π 4 )|

，θ∈[0，

π

3

]，
當θ=

π

4

時，

|PA|•|PB|

|PA|+|PB|

取得最小值

1

2 2 ×1

=

2

4

，
所以

|PA|•|PB|

|PA|+|PB|

的最小值是

2

4

．