Question

已知兩個正實數a，b滿足a+b≤3，若當

x≥0 y≥0 x+y≤1

時，恒有（x-a）²+（y-b）²≥2，則以a，b為坐標的點（a，b）所形成的平面區域的面積等于

 

．

Answer 1

分析：先依據不等式組

x≥0 y≥0 x+y≤1

，結合二元一次不等式（組）與平面區域的關系畫出其表示的平面區域，再利用求最優解的方法，結合題中條件：“恒有（x-a）²+（y-b）²≥2，”得出關于a，b的點（a，b）的區域，最后再據此不等式組表示的平面區域求出面積即可．

解答：解：依據不等式組

x≥0 y≥0 x+y≤1

，結合二元一次不等式（組）與平面區域的關系畫出其表示的平面區域，如圖中黃色區域，
令z=（x-a）²+（y-b）²，
∵恒有（x-a）²+（y-b）²≥2，
即點（a，b）到可行域的點的距離大于等于

2

．
又兩個正實數a，b滿足a+b≤3，
點P（a，b）形成的圖形是圖中紅色區域．
∴所求的面積S=2-

π

2

．
故答案為：2-

π

2

．

點評：本題主要考查了用平面區域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．目標函數有唯一最優解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關鍵點、定出最優解．