Question

從雙曲線-=1的左焦點F引圓x²+y²=3的切線FP交雙曲線右支于點P，T為切點，M為線段FP的中點，O為坐標原點，則|MO|-|MT|等于    ．

Answer 1

【答案】分析：利用坐標原點是兩焦點的中點，利用三角形的中位線的性質得到MO用焦半徑表示；將MT用焦半徑表示；利用圓的切線與過切點的半徑垂直得到直角三角形；利用勾股定理及雙曲線的定義，求出值．
解答：設雙曲線的右焦點為F₁，因為O為FF₁中點，M為PF中點，所以MO為三角形PFF₁的中位線，
|MO|=|PF₁|，
又|MT|=|PT|-|PM|=|PF|-|FT|-|PF|=|PF|-|FT|，
所以|MO|-|MT|=（|PF₁|-|PF|）+|FT|=|FT|-a，
又a=，
|FT|==．
所以|MO|-|MT|=-．
故答案為．
點評：在解決雙曲線中的有關中點問題時，要注意坐標原點是兩個焦點的中點、解決與雙曲線的與焦點有關的問題常聯系雙曲線的定義．