Question

隨機地把一根長度為8的鐵絲截成3段．
（1）若要求三段的長度均為正整數，求恰好截成三角形三邊的概率．
（2）若截成任意長度的三段，求恰好截成三角形三邊的概率．

Answer 1

分析：（1）本題是一個古典概型，試驗發生包含的基本事件數為21種情況，可以列舉出所有結果，滿足條件的事件是能構成三角形的情況有3種情況：（2，3，3），（3，2，3），（3，3，2），根據古典概型概率公式得到結果．
（2）設出第一段為x，第二段為y，則第三段為8-x-y，寫出試驗發生包含的事件對應的不等式組，和滿足條件的事件對應的不等式組，做出對應的面積，面積之比就是要求的概率．

解答：解：（1）由題意知本題是一個古典概型，
試驗發生包含的基本事件數為21種情況，可以列舉出所有結果：
（1，1，6），（1，2，5），（1，3，4），（1，4，3），
（1，5，2），（1，6，1），（2，1，5），（2，2，4），
（2，3，3），（2，4，2），（2，5，1），（3，1，4），
（3，2，3），（3，3，2），（3，4，1），（4，1，3），
（4，2，2），（4，3，1），（5，1，2），（5，2，1），
（6，1，1），
滿足條件的事件是能構成三角形的情況有3種情況：
（2，3，3），（3，2，3），（3，3，2）．
∴所求的概率是P(A)=

3

21

=

1

7

（2）設把鐵絲分成任意的三段，其中第一段為x，
第二段為y，則第三段為8-x-y則：

x＞0 y＞0 x+y＜8

如果要構成三角形，則必須滿足：

x＞0 y＞0 x+y＞8-x-y x+8-x-y＞y y+8-x-y＞x

?

x＞0 y＞0 x+y＞4 y＜4 x＜4

∴所求的概率為P(A)=

1 2 ×16

1 2 ×64

=

1

4

點評：古典概型和幾何概型是我們學習的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發生事件的個數，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積、的比值得到．