Question

已知函數f（x）定義在正整數集上，且對于任意的正整數x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，則f（2005）=

4010

．

Answer 1

分析：整理所給的抽象函數式f（x+2）=2f（x+1）-f（x），得到此函數值構成了一個等差數列，根據所給的兩項求出首項和公差，由等差數列的通項公式求出f（2005）的值．

解答：解：由題意知對于任意的正整數x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），
故f（x+2）-f（x+1）=f（x+1）-f（x），
∴此函數的值構成了一個等差數列，
首項f（1）=2，公差為

f(3)-f(1)

2

=2，
∴f（2005）=2+2004×2=4010．
故答案為：4010．

點評：本題考查了函數求值，此題解題的關鍵是通過所給的關系式把函數值和等差數列聯系在一起，把函數求值轉化為數列問題，本題是一個綜合題目．