【題目】設某物體一天中的溫度
是時間
的函數，已知
，其中溫度的單位是
，時間的單位是小時，規定中午12：00相應的
，中午12：00以后相應的
取正數，中午12：00以前相應的
取負數（例如早上8：00相應的
，下午16：00相應的
），若測得該物體在中午12：00的溫度為
，在下午13：00的溫度為
，且已知該物體的溫度在早上8：00與下午16：00有相同的變化率.
（1）求該物體的溫度
關于時間
的函數關系式；
（2）該物體在上午10：00至下午14：00這段時間中（包括端點）何時溫度最高？最高溫度是多少？
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）在上午11:00與下午14:00該物體溫度最高，最高溫度是62.℃.
【解析】試題分析：（1）由題意可得當
時， 
； 當
時， 
； 
，由此求得待定系數
的值，可得函數的解析式．
（2）利用導數研究函數的單調性，由單調性求得函數的最大值，從而得出結論．
試題解析：
（Ⅰ）求導函數可得
，
∵該物體的溫度在早上8:00與下午16:00有相同的變化率
∴
，∴
，∴
∴
∵該物體的溫度在中午12:00的溫度是60℃，下午13:00的溫度為58℃
∴
∴
∴
（Ⅱ）
令
可得
或
；令
可得
∴函數在
上單調遞增，在
上單調遞減，在
上單調遞增
∵
∴
或
時， 
取得最大值62.
說明在上午11:00與下午14:00該物體溫度最高，最高溫度是62.℃.
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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，直線
的參數方程是
（
為參數）.以坐標原點
為極點，以
軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程是
.
（1）求直線
的普通方程和曲線
的直角坐標方程；
（2）設點
，若直線
與曲線
交于
， 
兩點，且
，求實數
的值.
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【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為： 
(
為參數)，以原點
為極點， 
軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
(1)求直角坐標系下曲線
與曲線
的方程；
(2)設
為曲線
上的動點，求點
到
上點的距離的最大值，并求此時點
的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
已知圓
的參數方程為
（
為參數），若
是圓
與
軸正半軸的交點，以坐標原點
為極點，以
軸正半軸為極軸，建立極坐標系，設過點
的圓
的切線為
.
（1）求直線
的極坐標方程；
（2）求圓
上到直線
的距離最大的點的直角坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】計劃在某水庫建一座至多安裝
臺發電機的水電站，過去
年的水文資料顯示，水庫年入流量
（年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和．單位：億立方米）都在40以上，不足
的年份有
年，不低于
且不超過
的年份有
年，超過
的年份有
年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，假設各年的年入流量相互獨立．
（1）求未來
年中，設
表示流量超過
的年數，求
的分布列及期望；
（2）水電站希望安裝的發電機盡可能運行，但每年發電機最多可運行臺數受年入流量
限制，并有如下關系：
年入流量 |
|
|
|
發電機最多可運行臺數 |
|
|
|
若某臺發電機運行，則該臺年利潤為
萬元，若某臺發電機未運行，則該臺年虧損
萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？
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