Question

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數，且對任意a，b∈R滿足下列關系式：f（a•b）=af（b）+bf（a），f（2）=2，an=

f(2n)

2n

(n∈N*)，bn=

f(2n)

n

(n∈N*)．考察下列結論：①f（0）=f（1）； ②f（x）為偶函數；③數列{a_n}為等差數列；④數列{b_n}為等比數列．其中正確的結論有（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：①令x=y=0，得f（0）=f（0•0）=0，令x=y=1得f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0，可知正確；
②用特例，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），故f（x）不是偶函數，
③f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ，有b_n=b_n-1+1，符合等差數列定義；
④b₁═1，b_n=1+（n-1）×1=n，f（2ⁿ）=2ⁿb_n=n2ⁿ，a_n═2ⁿ，故數列{a_n}是等比數列．

解答：解：∵f（0）=f（0•0）=0，f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0，①正確；
f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），
∴f（-1）=0，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），
故f（x）不是偶函數，
故②錯；
則f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ，
∴b_n=b_n-1+1，∴{b_n}是等差數列，④正確；
b₁═1，b_n=1+（n-1）×1=n，f（2ⁿ）=2ⁿb_n=n2ⁿ，a_n═2ⁿ，
故數列{a_n}是等比數列，③正確．
故選C．

點評：本題主要考查數列與函數的綜合運用，主要涉及了函數的奇偶性，賦值法，等差數列，等比數列的定義及通項．