Question

已知定義在R上的二次函數(shù)R(x)＝ax²＋bx＋c滿足，且R(x)的最小值為0，函數(shù)h(x)＝lnx，又函數(shù)f(x)＝h(x)－R(x)．

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)當(dāng)a≤時(shí)，若x₀∈[1，3]，求f(x₀)的最小值；

(Ⅲ)若二次函數(shù)R(x)圖象過(4，2)點(diǎn)，對(duì)于給定的函數(shù)f(x)圖象上的點(diǎn)A(x₁，y₁)，當(dāng)時(shí)，探求函數(shù)f(x)圖象上是否存在點(diǎn)B(x₂，y₂)(x₂＞2)，使A、B連線平行于x軸，并說明理由．(參考數(shù)據(jù)：e＝2.71828…)

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ) 　　可得 　　又在x＝0時(shí)取得最小值0， 　　 　　令 　　當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表： 　　所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，)，的單調(diào)遞減區(qū)間是(，＋)　　5分 　　(Ⅱ)≤時(shí)，≥1， 　　時(shí)，的最小值為與中的較小者　　7分 　　又 　　≤時(shí)，的最小值； 　　當(dāng)時(shí)，的最小值　　9分 　　(Ⅲ)證明：若二次函數(shù)圖象過(4，2)點(diǎn)，則，所以 　　令 　　由(Ⅰ)知在(0，2)內(nèi)單調(diào)遞增， 　　故　　11分 　　取則 　　所以存在 　　即存在 　　所以函數(shù)圖象上存在點(diǎn)B()()，使A、B連線平行于x軸　　14分 　　(說明：的取法不唯一，只要滿足＞2，且即可)