Question

已知函數(shù)f（x）定義在正整數(shù)集上，且對(duì)于任意的正整數(shù)x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，則f（2005）=________．

Answer 1

4010
分析：整理所給的抽象函數(shù)式f（x+2）=2f（x+1）-f（x），得到此函數(shù)值構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列，根據(jù)所給的兩項(xiàng)求出首項(xiàng)和公差，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出f（2005）的值．
解答：由題意知對(duì)于任意的正整數(shù)x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），
故f（x+2）-f（x+1）=f（x+1）-f（x），
∴此函數(shù)的值構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列，
首項(xiàng)f（1）=2，公差為 =2，
∴f（2005）=2+2004×2=4010．
故答案為：4010．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)求值，此題解題的關(guān)鍵是通過所給的關(guān)系式把函數(shù)值和等差數(shù)列聯(lián)系在一起，把函數(shù)求值轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，本題是一個(gè)綜合題目．