Question

在數列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），其中λ＞0．
（Ⅰ）記b_n=

an

λn

-（

2

λ

）ⁿ，求證數列{b_n}為等差數列，并求出數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）證明存在k∈N^*，使得

an+1

an

≤

ak+1

ak

對任意n∈N^*均成立．

Answer 1

分析：（I）由a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），λ＞0，可得

an+1

λn+1

-(

2

λ

)n+1=

an

λn

-(

2

λ

)n+1，即b_n+1-b_n=1，從而可得結論；
（II）分類討論，利用錯位相減法，即可求數列{a_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）推測數列{

an+1

an

}的第一項

a2

a1

最大，即可得出結論．

解答：（Ⅰ）解：由a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），λ＞0，
可得

an+1

λn+1

-(

2

λ

)n+1=

an

λn

-(

2

λ

)n+1，即b_n+1-b_n=1
∴{b_n}為等差數列，且其公差為1，首項為0，
∴

an

λn

-(

2

λ

)n=n-1，所以數列{a_n}的通項公式為a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．
（Ⅱ）解：設T_n=λ²+2λ³+3λ⁴++（n-2）λ^n-1+（n-1）λⁿ①
λT_n=λ³+2λ⁴+3λ⁵++（n-2）λⁿ+（n-1）λⁿ⁺¹．②
當λ≠1時，①式減去②式，得（1-λ）T_n=λ²+λ³++λⁿ-（n-1）λⁿ⁺¹=

λ2-λn+1

1-λ

-(n-1)λn+1，
∴T_n=

(n-1)λn+2-nλn+1+λ2

(1-λ)2

，
這時數列{a_n}的前n項和Sn=

(n-1)λn+2-nλn+1+λ2

(1-λ)2

+2n+1-2
當λ=1時，T_n=

n(n-1)

2

．
這時數列{a_n}的前n項和Sn=

n(n-1)

2

+2n+1-2
故Sn=

n(n-1) 2 +2n+1-2，λ=1 (n-1)λn+2-nλn+1+λ2 (1-λ)2 +2n+1-2，λ≠1

（Ⅲ）證明：通過分析，推測數列{

an+1

an

}的第一項

a2

a1

最大，下面證明：

an+1

an

＜

a2

a1

，n≥2③．　　　　③
由λ＞0知a_n＞0．要使③式成立，只要2a_n+1＜（λ²+4）a_n（n≥2）．
因為（λ²+4）a_n=（λ²+4）（n-1）λⁿ+（λ²+4）2ⁿ＞4λ．
（n-1）λⁿ+4×2ⁿ=4（n-1）λⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²≥2nλⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=2a_n+1，n＞2．
所以③式成立．
因此，存在k=1，使得

an+1

an

≤

ak+1

ak

=

a2

a1

對任意n∈N^*均成立．

點評：本題以數列的遞推關系式為載體，主要考查等比數列的前n項和公式、數列求和、不等式的證明等基礎知識與基本方法，考查歸納、推理、運算及靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力．