Question

（本小題滿分12分）設函數.

（Ⅰ）求函數f (x)在點(0, f (0))處的切線方程；

（Ⅱ）求f (x)的極小值；

（Ⅲ）若對所有的，都有成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【解析】(Ⅰ)∵f(x)的定義域為，又∵=2ln(2x+1)+2,

∴，切點為O(0,0)，∴所求切線方程為y=2x. …………2分

(Ⅱ) 設=0，得ln(2x+1)=－1，得；

>0，得ln(2x+1)>－1，得；

<0，得ln(2x+1)<－1，得；

則.…………6分

 (Ⅲ)令，

則=2ln(2x+1)+2－2a=2[ln(2x+1)+1－a].

令=0，得ln(2x+1)= a－1，得；

  >0，得ln(2x+1)> a－1，得；

  <0，得ln(2x+1)< a－1，得；

（1）當a≤1時，，∵，

∴對所有時，都有，于是≥0恒成立，

∴g(x)在[0,+∞)上是增函數.

又g(0)=0,于是對所有,都有g(x)≥ g(0)=0成立.

故當a≤1時，對所有的，都有成立.

（2）當a>1時，，∵，

∴對所有，都有<0恒成立，

∴g(x)在上是減函數. 

又g(0)=0,于是對所有,都有g(x)≤ g (0)=0.

故當a>1時，只有對僅有的，都有.

即當a>1時，不是對所有的，都有.

綜合（1），（2）可知實數a的取值范圍(－∞,1.……………………12分