Question

設函數f(x)=

2x+3

3x

(x＞0)，數列{a_n}滿足a1=1，an=f(

1

an-1

)(n∈N*，且n≥2)．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）設T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，若T_n≥tn²對n∈N^*恒成立，求實數t的取值范圍；
（III）在數列{a_n}中是否存在這樣一些項：an1，an2，an3，…，ank，…(1=n1＜n2＜n3＜…＜nk＜…，k∈N*)，這些項能夠構成以a₁為首項，q（0＜q＜5，q∈N^*）為公比的等比數列{ank}，k∈N^*．若存在，寫出n_k關于k的表達式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由an=f(

1

an-1

)=

2× 1 an-1 +3

3× 1 an-1

=an-1+

2

3

，（n∈N^*，且n≥2），
知an-an-1=

2

3

．由此可知an=

2n+1

3

．
（II）分n=2m與n=2m-1討論可得，Tn=

- 1 9 (2n2+6n)，n為正偶數 1 9 (2n2+6n+7)，n為正奇數

，由此計算能導出實數t的取值范圍．
（III）由an=

2n+1

3

，知數列{a_n}中每一項都不可能是偶數．存在以a₁為首項，公比q為2或4的數列{ank}，k∈N^*，
此時{ank}，中每一項除第一項外都是偶數，故不存在以a₁為首項，公比為偶數的數列{ank}，．再由q=1和q=3分別討論知存在滿足條件的數列{a_nk}，且nk=

3k-1

2

(k∈N*)．

解答：解：（I）因為an=f(

1

an-1

)=

2× 1 an-1 +3

3× 1 an-1

=an-1+

2

3

，（n∈N^*，且n≥2），
所以an-an-1=

2

3

．（2分）
因為a₁=1，所以數列{a_n}是以1為首項，公差為

2

3

的等差數列．
所以an=

2n+1

3

．（4分）

（II）①當n=2m，m∈N*時，T_n=T_2m=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^2m-1a_2ma_2m+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2m（a_2m-1-a_2m+1）=-

4

3

(a2+a4+…+a2m)
=-

4

3

×

a2+a2m

2

×m=-

1

9

(8m2+12m)=-

1

9

(2n2+6n)．（6分）

②當n=2m-1，m∈N*時，T_n=T_2m-1=T_2m-（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=-

1

9

(8m2+12m)+

1

9

(16m2+16m+3)=

1

9

(8m2+4m+3)=

1

9

(2n2+6n+7)．（8分）
所以Tn=

- 1 9 (2n2+6n)，n為正偶數 1 9 (2n2+6n+7)，n為正奇數

要使T_n≥tn²對n∈N^*恒成立，
只要使-

1

9

(2n2+6n)≥tn2，（n為正偶數）恒成立．
只要使-

1

9

(2+

6

n

)≥t，對n為正偶數恒成立，
故實數t的取值范圍為(-∞，-

5

9

]．（10分）

（III）由an=

2n+1

3

，知數列{a_n}中每一項都不可能是偶數．
存在以a₁為首項，公比q為2或4的數列{ank}，k∈N^*，
此時{ank}中每一項除第一項外都是偶數，故不存在以a₁為首項，公比為偶數的數列{ank}．（12分）
②當q=1時，顯然不存在這樣的數列{ank}．
當q=3時，若存在以a₁為首項，公比為3的數列{ank}，k∈N^*．
則an1=1，n₁=1，nk=

3k-1

2

．
所以存在滿足條件的數列{ank}，且nk=

3k-1

2

(k∈N*)．（14分）

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．