Question

已知2x≤256且log2x≥

1

2

，求函數f（x）=log2

x

2

•log

2

x

2

的值域．

Answer 1

分析：由2^x≤256及log2x≥

1

2

可求x的取值范圍，利用對數的運算性質對所求函數進行化簡可得，y=（log₂x）²-3log₂x+2，可令log₂x=t，由x得范圍可求t的范圍，則可轉化為關于t的二次函數y=t²-3t+2，利用二次函數的性質可求函數值域

解答：解：由2^x≤256得x≤8，則

1

2

≤log₂x≤3，
y=f（x）=（log₂x-1）（log₂x-2）=（log₂x）²-3log₂x+2，
令log₂x=t，則t∈[

1

2

，3]，
則y=t²-3t+2，其中對稱軸為t=

3

2

，故當t=

3

2

時，y有最小值是-

1

4

，
故t=3時，y最大值2，故函數值域是[-

1

4

，2]．

點評：熟練掌握對數的基本運算性質是轉化本題的關鍵，二次函數在閉區間上的最值（值域）的求解是函數部分常考的試題，利用函數的圖象是解決此類問題的關鍵．