Question

設數列{b_n}（n∈N^*）的前n項和為S_n，點（S_n，b_n）恒在函數f（x）=-2x+2的圖象上；數列{a_n}（n∈N^*）為等差數列，且a₃=8，a₇=20．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{b_n}的通項公式；

Answer 1

分析：（1）先根據a₃=8，a₇=20求得公差，進而根據等差數列通項公式求得首項，則數列{a_n}的通項公式可得．
（2）把b_n=S_n-S_n-1代入-2S_n+2=b_n，整理得3（S_n-1）=S_n-1-1判斷出數列{S_n-1}是以

1

3

為公比的等比數列，首項是S₁，則數列{S_n-1}通項公式可得，進而求得S_n，最后根據-2S_n+2=b_n，求得求數列{b_n}的通項公式；

解答：解：（1）d=

a7-a3

4

=3
∴a₃=a₁+2d=8，a₁=2
∴a_n=2+（n-1）×3=3n-1
（2）依題意可知-2S_n+2=b_n，
2b₁+2=b₁，b₁=-2
∵當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1，
∴-2S_n+2=S_n-S_n-1，整理得3（S_n-1）=S_n-1-1
數列{S_n-1}是以

1

3

為公比的等比數列，首項是S₁
∴S_n-1=（-3）×（

1

3

）^n-1=-（

1

3

）^n-2
∴S_n=-（

1

3

）^n-2+1
∴b_n=2•（

1

3

）^n-2

點評：本題主要考查了用數列遞推式求數列通項公式的問題．考查了學生對數列問題的綜合掌握．