Question

【題目】若點為點在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長為的正方體中，記平面為，平面為，點是棱上一動點（與、不重合），.給出下列三個結論：

①線段長度的取值范圍是；

②存在點使得平面；

③存在點使得.

其中，所有正確結論的序號是（ ）

A.①②③B.②③C.①③D.①②

Answer 1

【答案】D

【解析】

以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，設點的坐標為，求出點、的坐標，然后利用向量法來判斷出命題①②③的正誤.

取的中點，過點在平面內作，再過點在平面內作，垂足為點.

在正方體中，平面，平面，，

又，，平面，即，，

同理可證，，則，.

以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，設，則，，，，.

對于命題①，，，則，則，所以，，命題①正確；

對于命題②，，則平面的一個法向量為，

，令，解得，

所以，存在點使得平面，命題②正確；

對于命題③，，令，

整理得，該方程無解，所以，不存在點使得，命題③錯誤.

故選：D.