Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上的一點(diǎn)A（2，4）．
（Ⅰ）是否存在直線(xiàn)l：y=kx+3與圓M有兩個(gè)交點(diǎn)B，C，并且|AB|=|AC|，若有，求此直線(xiàn)方程，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)T（t，0）滿(mǎn)足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得 = ，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0化為（x﹣6）2+（y﹣7）2=25，圓心為M（6，7），半徑為5

假設(shè)存在直線(xiàn)l：y=kx+3與圓M有兩個(gè)交點(diǎn)B，C，并且|AB|=|AC|，

則AM⊥BC，∵kAM= ，即直線(xiàn)l的斜率為﹣

則直線(xiàn)l：y=﹣ x+3，即4x+3y﹣9=0

圓心M（6，7）到4x+3y﹣9=0的距離d=

即直線(xiàn)l與圓M無(wú)兩個(gè)交點(diǎn)，

∴不存在直線(xiàn)l：y=kx+3與圓M有兩個(gè)交點(diǎn)B，C，并且|AB|=|AC|；

（Ⅱ）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），∵A（2，4），T（t，0），

由 = 得， ，由點(diǎn)Q在圓M上，所以（x2﹣6）2+（y2﹣7）2=25

即得（x1﹣t﹣4）2+（y1﹣3）2=25．

從而圓（x﹣6）2+（y﹣7）2=25與圓（x﹣t﹣4）2+（y﹣3）2=25上有公共點(diǎn)，

即5﹣5

解得2﹣2 ≤t≤2+2 ，

∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為[2﹣2 ，2+2 ]．

【解析】（1）假設(shè)存在直線(xiàn)l：y=kx+3，由題意|AB|=|AC|，則AM⊥BC，即直線(xiàn)l的斜率為，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離即可判斷出不存在這樣的直線(xiàn)與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由向量關(guān)系表示出Q點(diǎn)坐標(biāo)，由于點(diǎn)Q在圓上，可得（x1﹣t﹣4）2+（y1﹣3）2=25，若兩圓有公共點(diǎn)，則兩圓心間的距離小于半徑之和，大于半徑之差，即可得到實(shí)數(shù)t的取值范圍.