Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，其左視圖沿AB方向投影，左視圖如圖．
（1）證明：AC₁⊥B₁C；
（2）當AC₁長為

6

時，求多面體B₁-ABC₁D₁的體積．

Answer 1

分析：（1）根據長方體的幾何特征及正方形對角線互相垂直，結合線面垂直的判定定理可得B₁C⊥平面ABC₁，進而根據線面垂直的定義得到AC₁⊥B₁C；
（2）根據三視圖中棱長，及AC₁=

6

，可求出棱AB的長度，進而求出多面體B₁-ABC₁D₁的底面面積和高，代入棱錐體積公式可得答案．

解答：證明：（1）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥平面BB₁C₁C，B₁C?平面BB₁C₁C，
∴AB⊥B₁C
又∵由左視圖知平面BB₁C₁C為正方形
∴B₁C⊥BC₁，
又∵BC₁，AB?平面ABC₁，BC₁∩AB=B
∴B₁C⊥平面ABC₁，
而AC₁?平面ABC₁，
∴AC₁⊥B₁C．…..（6分）
（2）由AC₁=

6

=

12+12+AB2

得
AB=2，
∴矩形ABC₁D₁的面積S=2

2

，
由（1）中B₁C⊥平面ABC₁，
則B₁C即為平面ABC₁D₁上的高，
又∵B₁C=

2

，
∴多面體B₁-ABC₁D₁的體積V=

1

3

S•B₁C=

2

3

．…..（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定和性質，棱錐的體積，熟練掌握空間中線線垂直，線面垂直之間的轉化是解答的關鍵．