Question

已知拋物線，點P（-1，0）是其準線與軸的焦點，過P的直線與拋物線C交于A、B兩點.

（1）當線段AB的中點在直線上時，求直線的方程；

（2）設F為拋物線C的焦點，當A為線段PB中點時，求△FAB的面積.

 

Answer 1

【答案】

（1）.   （2）.

【解析】

試題分析：（1）首先確定拋物線方程為，將直線的方程為，（依題意存在，且≠0）與拋物線方程聯立，消去得應用中點坐標公式AB中點的橫坐標為，進一步求得直線的斜率，從而可得直線方程.應注意直線斜率的存在性.

（2）根據中點坐標公式確定得到，再利用A、B為拋物線上點，得得到方程組求得

，，計算得到△FAB的面積    .注意結合圖形分析，通過確定點的坐標，得到三角形的高線長.

試題解析：（1）因為拋物線的準線為，所以，

拋物線方程為                     2分

設，直線的方程為，（依題意存在，且≠0）與拋物線方程聯立，消去得    （*）

，    4分

      

所以AB中點的橫坐標為，即，所以       6分

（此時（*）式判別式大于零）

所以直線的方程為     7分

（2）因為A為線段PB中點，所以             8分

由A、B為拋物線上點，得，                10分

解得，                     11分

當時，；當時，           12分

所以△FAB的面積      14分

考點：拋物線標準方程，直線與拋物線的位置關系.