Question

已知函數(shù)：f（x）=x²+bx+c，其中：0≤b≤4，0≤c≤4，記函數(shù)f（x）滿足條件：

f(2)≤12 f(-1)≤3

的事件為A，求事件A發(fā)生的概率．

Answer 1

分析：根據(jù)二次函數(shù)解析式，可得事件A對(duì)應(yīng)的不等式為：

2b+c≤8 b-c≥2

，因此在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出不等式組

0≤b≤4  0≤c≤4

和

2b+c≤8 b-c≥2

對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，分別得到正方形ODEF和四邊形OHGF，如圖所示．最后算出四邊形OHGF與正方形ODEF的面積之比，即可得到事件A發(fā)生的概率．

解答：解：∵f（x）=x²+bx+c，
∴由不等式

f(2)≤12 f(-1)≤3

，即

4+2b+c≤12 1-b+c≤3

，
整理得：

2b+c≤8 b-c≥2

，
以b為橫坐標(biāo)、a為縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，
將不等式組

0≤b≤4  0≤c≤4

和

2b+c≤8 b-c≥2

對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域作出，如圖所示
不等式組

0≤b≤4  0≤c≤4

對(duì)應(yīng)圖中的正方形ODEF，其中
D（0.4），E（4，4），F(xiàn)（4，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，可得S_{正方形ODEF}=4×4=16
不等式組

2b+c≤8 b-c≥2

對(duì)應(yīng)圖中的四邊形OHGF，
可得S_{四邊形OHGF}=S_{正方形ODEF}-S_△DHG-S_△EFG=16-2-4=10
故滿足事件A的區(qū)域的面積為：S(a)=16-

1

2

×2×2-

1

2

×2×4=10，
而滿足所有條件的區(qū)域Ω的面積：S（Ω）=16
∴事件A發(fā)生的概率為：P(A)=

S(a)

S(Ω)

=

10

16

=

5

8

，
答：滿足事件A的概率為 

5

8

點(diǎn)評(píng)：本題以二次函數(shù)與不等式的運(yùn)算為載體，求事件A發(fā)生的概率．著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和幾何概型計(jì)算公式等知識(shí)，屬于中檔題．