Question

已知點P（2，1）是圓O：x²+y²=4外一點．
（1）過點P引圓的切線，求切線方程；
（2）過點P引圓的割線，交圓與A，B兩點，求弦AB中點的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）直線x=2，過點P（2，1）且與圓O相切；
當斜率存在時，設方程為y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0
由d==2，可得k=-，所以方程為3x+4y-10=0；
（2）設弦AB中點坐標為（x，y），則，即x²+y²-2x-y=0
與圓O方程聯立，可得y=4-2x，代入圓O方程可得5x²-16x+12=0
∴x=1.2或x=2
∴弦AB中點的軌跡方程為x²+y²-2x-y=0（1.2＜x＜2）．
分析：（1）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求切線方程；
（2）設出弦AB中點坐標為（x，y），利用斜率關系可得方程，與圓O方程聯立，可得范圍．
點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查軌跡方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．