Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-

A

1

B1C1D1的面ABB₁A₁所在平面內有一點P，滿足P到棱

A

1

B1所在直線的距離等于P到棱CC₁所在直線的距離，延長棱B₁B至點E，使得|B1E|=

2

|B1B|，過點E作平行于

A

1

B1的直線l交動點P的軌跡Γ于點M，N，在分別過M，N做軌跡Γ的切線交于點Q，則△MQN的面積為（　　）

• A．

  2

  3

  a2
• B．

  2

  3

  a2
• C．

  3

  2

  a2
• D．

  2

  2

  a2

Answer 1

分析：根據題意求出點P的軌跡為雙曲線，在平面ABB₁內運用圓錐曲線知識求出M、N、Q三點的坐標，則三角形MNQ的底邊和高可求，從而求出面積．

解答：解：如圖，以AB所在直線為x軸，BB₁所在直線為y軸建立平面直角坐標系，
設P（x，y），由題意可得，x²+a²=（a-y）²（y≤0），
所以P點的軌跡是雙曲線的一支，
因為|B1E|=

2

|B1B|=

2

a，所以E點的縱坐標為a-

2

a，
代入雙曲線方程得：M（-a，a-

2

a），N（a，a-

2

a）．
設過M點的曲線的切線的斜率為k，則：切線方程為y=a-

2

a+k(x+a)，
與雙曲線方程聯立得：(k2-1)x2+2k(ak-

2

a)x+a2k2-2

2

a2k+a2=0
由△=4k2(ak-

2

a)2-4(k2-1)(a2k2-2

2

a2k+a2)=8a2k2-8

2

a2k+4a2=0
得：2k2-2

2

k+1=0，所以k=

2

2

，
把k=

2

2

代入切線方程并取x=0得：y=a-

2

2

a，即Q點的縱坐標為a-

2

2

a，
所以三角形MNQ的高為

2

2

a，
所以S△MNQ=

1

2

×2a×

2

2

a=

2

2

a2．
故選D．

點評：本題考查了棱柱的結構特征，考查了數學轉化思想和方程思想，考查了圓錐曲線知識，訓練了學生的運算能力，正確得到點P的軌跡是該題的難點，此題有一定難度．