Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c和“偽二次函數(shù)”g（x）=ax²+bx+clnx（abc≠0）．
（1）證明：只要a＜0，無論b取何值，函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù)；
（2）在同一函數(shù)圖象上任意取不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB中點為C（x，y），記直線AB的斜率為k，
①對于二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，求證：k=f′（x）；
②對于“偽二次函數(shù)”g（x）=ax²+bx+clnx，是否有①同樣的性質(zhì)？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）用導(dǎo)函數(shù)大于0在定義域內(nèi)恒成立，結(jié)合二次不等式恒成立知不可能，據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0函數(shù)單增，得證．
（2）①據(jù)兩點斜率公式求k，再據(jù)中的坐標(biāo)公式和導(dǎo)數(shù)公式得f′（x），得證．
（2）②先假設(shè)有得到一個關(guān)于t的等式，構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)單調(diào)性求最小值，得等式不成立，故假設(shè)不成立．
解答：解：（1）如果x＞0，g（x）為增函數(shù)，則
g′（x）=2ax+b+=恒成立．
∴2ax²+bx+c＞0（ii）恒成立
∵a＜0，由二次函數(shù)的性質(zhì)，（ii）不可能恒成立
則函數(shù)g（x）不可能總為增函數(shù)．
（2）①對于二次函數(shù)：
k==2ax+b
由f′（x）=2ax+b故f′（x）=2ax+b
即k=f′（x）
（2）②
不妨設(shè)x₂＞x₁，對于偽二次函數(shù)g（x）=ax²+bx+clnx=f（x）+clnx-c，
k=
如果有①的性質(zhì)，則g′（x）=k
∴
即∴，
令，t＞1，則
設(shè)s（t）=lnt-，則
∴s（t）在（1，+∞）上遞增，
∴s（t）＞s（1）=0
∴g′（x）≠k∴“偽二次函數(shù)“g（x）=ax²+bx+clnx不具有①的性質(zhì)．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值、兩點斜率、不等式恒成立問題、構(gòu)造函數(shù)等．