Question

在數列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，其前n項和S_n滿足S_n（S_n-a_n）+2a_n=0
（Ⅰ）證明數列{

1

Sn

}是等差數列；
（Ⅱ）求S_n和數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅲ）設b n=

Sn

n

，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）由已知中數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n（S_n-a_n）+2a_n=0，結合a_n=S_n-S_n-1，可得

1

Sn

-

1

Sn-1

為定值，進而得到數列{

1

Sn

}是等差數列；
（Ⅱ）由（I）可得數列{

1

Sn

}的通項公式，進而得到S_n的通項公式，再由a_n與S_n的關系，得到數列{a_n}的通項公式
（III）由已知中S_n的通項公式，可得數列{b_n}的通項公式，進而利用裂項相消法得到答案．

解答：證明：（I）∵當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，且S_n（S_n-a_n）+2a_n=0
∴S_n[S_n-（S_n-S_n-1）]+2（S_n-S_n-1）=0
即S_n•S_n-1+2（S_n-S_n-1）=0
即

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

又∵S₁=a₁=1，故數列{

1

Sn

}是以1為首項，以

1

2

為公差的等差數列
（II）由（I）得：

1

Sn

=

n+1

2

∴S_n=

2

n+1

當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

-2

n(n+1)

∵n=1時，

-2

n(n+1)

無意義
故a_n=

1，n=1 -2 n(n+1) ，n≥2

（III）∵bn=

Sn

n

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

）
∴T_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

點評：本題考查的知識點是等差關系的確定，數列的函數特性，數列求和，是數列問題的綜合應用，熟練掌握a_n與S_n的關系是解答本題的關鍵．