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在數列{an}中,a1=1,當n≥2時,其前n項和Sn滿足Sn(Sn-an)+2an=0
(Ⅰ)證明數列{
1
Sn
}是等差數列;
(Ⅱ)求Sn和數列{an}的通項公式an
(Ⅲ)設b n=
Sn
n
,求數列{bn}的前n項和Tn
分析:(I)由已知中數列{an}的前n項和Sn滿足Sn(Sn-an)+2an=0,結合an=Sn-Sn-1,可得
1
Sn
-
1
Sn-1
為定值,進而得到數列{
1
Sn
}是等差數列;
(Ⅱ)由(I)可得數列{
1
Sn
}的通項公式,進而得到Sn的通項公式,再由an與Sn的關系,得到數列{an}的通項公式
(III)由已知中Sn的通項公式,可得數列{bn}的通項公式,進而利用裂項相消法得到答案.
解答:證明:(I)∵當n≥2時,an=Sn-Sn-1,且Sn(Sn-an)+2an=0
∴Sn[Sn-(Sn-Sn-1)]+2(Sn-Sn-1)=0
即Sn•Sn-1+2(Sn-Sn-1)=0
1
Sn
-
1
Sn-1
=
1
2

又∵S1=a1=1,故數列{
1
Sn
}是以1為首項,以
1
2
為公差的等差數列
(II)由(I)得:
1
Sn
=
n+1
2

∴Sn=
2
n+1

當n≥2時,an=Sn-Sn-1=
-2
n(n+1)

∵n=1時,
-2
n(n+1)
無意義
故an=
1,n=1
-2
n(n+1)
,n≥2

(III)∵bn=
Sn
n
=
2
n(n+1)
=2(
1
n
-
1
n+1

∴Tn=2(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
)=2(1-
1
n+1
)=
2n
n+1
點評:本題考查的知識點是等差關系的確定,數列的函數特性,數列求和,是數列問題的綜合應用,熟練掌握an與Sn的關系是解答本題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

在數列{an}中,
a
 
1
=1
an=
1
2
an-1+1
(n≥2),則數列{an}的通項公式為an=
2-21-n
2-21-n

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科目:高中數學 來源: 題型:

在數列{an}中,a 1=
1
3
,并且對任意n∈N*,n≥2都有an•an-1=an-1-an成立,令bn=
1
an
(n∈N*).
(Ⅰ)求數列{bn}的通項公式;
(Ⅱ)設數列{
an
n
}的前n項和為Tn,證明:
1
3
Tn
3
4

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科目:高中數學 來源: 題型:

在數列{an}中,a=
12
,前n項和Sn=n2an,求an+1

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科目:高中數學 來源: 題型:

在數列{an}中,a1=a,前n項和Sn構成公比為q的等比數列,________________.

(先在橫線上填上一個結論,然后再解答)

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科目:高中數學 來源:2012-2013學年廣東省汕尾市陸豐市碣石中學高三(上)第四次月考數學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

在數列{an}中,a,并且對任意n∈N*,n≥2都有an•an-1=an-1-an成立,令bn=(n∈N*).
(Ⅰ)求數列{bn}的通項公式;
(Ⅱ)設數列{}的前n項和為Tn,證明:

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