Question

【題目】已知橢圓的長軸長為，且離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設橢圓的左焦點為，點是橢圓與軸負半軸的交點，經過的直線與橢圓交于點，經過且與平行的直線與橢圓交于點，若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）求出后可得橢圓的標準方程.

（2）設直線的方程為，，，,聯立直線的方程與橢圓方程，消去后利用韋達定理可求的長度（用表示），同理可求的長度（用表示），結合可得關于的方程，解方程后可得所求的直線方程.

（1）因為長軸長為，故，

又離心率為，故，所以，故橢圓方程為：.

（2）因為，所以與軸不垂直，

設直線的方程為，，，

由，得，

則，，

，

依題意，直線AB的方程為，代入中，得，

設，又，可得，則，

由，所以，

從而，則，

直線的方程為即或.