Question

如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點，已知炮彈發射后的軌跡在方程y=kx-（1+k²）x²（k＞0）表示的曲線上，其中k與發射方向有關，炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標。

（1）求炮的最大射程；
（2）設在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由。

Answer 1

解：（1）在 y=kx-（1+k²）x²（k＞0）中，令y=0，得 kx-（1+k²）x²=0
由實際意義和題設條件知x＞0，k＞0
∴，當且僅當k=1時取等號
∴炮的最大射程是10千米。
（2）∵a＞0，
∴炮彈可以擊中目標等價于存在k＞0，使ka-（1+k²）a²=3.2成立，
即關于k的方程a²k²-20ak+a²+64=0有正根
由△=400a²-4a²（a²+64）≥0得a≤6
此時，k=＞0（不考慮另一根）
∴當a不超過6千米時，炮彈可以擊中目標。