Question

如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長度為1千米．某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

(1) 求炮的最大射程；

(2) 設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為千米，試問它的橫坐標(biāo)不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) 10千米；(2) 6千米

【解析】本試題主要是考查了二次函數(shù)在實際生活中的運(yùn)用。利用二次函數(shù)與二次不等式的關(guān)系解得。

（1）因為在中，令，得。

由實際意義和題設(shè)條件知，從而得到的最大值。

（2）∵，∴炮彈可以擊中目標(biāo)等價于存在，使成立，即關(guān)于的方程有正根轉(zhuǎn)為方程根的問題來解決。

解：（1）在中，令，得。

由實際意義和題設(shè)條件知。

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。 ∴炮的最大射程是10千米。

（2）∵，∴炮彈可以擊中目標(biāo)等價于存在，使成立，即關(guān)于的方程有正根。由得。

此時，（不考慮另一根）。

∴當(dāng)不超過6千米時，炮彈可以擊中目標(biāo)。