Question

已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合．直線l的參數方程為

x=1+cosα•t y=sinα•t

(t為參數，α為直線l的傾斜角），曲線C的極坐標方程為ρ²-10ρcosθ+17=0．
（Ⅰ）若直線l與曲線C有公共點，求α的取值范圍；
（Ⅱ）當α=

π

6

時，設P（1，0），若直線l與曲線C有兩個交點是A，B，求|PA||PB|的值；并求|AB|的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）曲線C的極坐標方程化為普通方程，直線l的參數方程代入圓的方程化簡后記作①，因為直線l與曲線C有公共點，所以得到①中方程的△大于等于0列出關于cosα的關系式，求出不等式的解集即可得到cosα的范圍，根據α為直線l的傾斜角得到α的范圍，利用余弦函數的圖象及特殊角的三角函數值即可求出α的范圍；
（Ⅱ）設出A和B對應的參數分別為t₁，t₂，由①知當α等于

π

6

時，將①化為關于t的一元二次方程，利用韋達定理即可求出|AB|的長和|PA||PB|的值．

解答：解：（Ⅰ）圓的普通方程為x²-10x+y²+17=0，
將直線l的參數方程代入得：t²-8tcosα+8=0，①．
△=（8cosα）²-32≥0，
∴cos2α≥

1

2

又α為直線l的傾斜角，
∴

2

2

≤cosα≤1或-1＜cosα≤-

2

2

，
所以α∈[0，

π

4

]∪[

3π

4

，π)；
（Ⅱ）設A，B兩點對應的參數分別為t₁，t₂，由①知當α=

π

6

時，
將①化為t2-4

3

•t+8=0，t1+t2=4

3

，t1t2=8，
|AB|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t

2=4，
|PA||PB|=|t₁•t₂|=8．

點評：此題考查學生會將圓的方程化為普通方程，掌握余弦函數的圖象和性質，靈活運用韋達定理化簡求值，是一道綜合題．