Question

（2012•臺州一模）函數y=Asin(

π

2

x+φ) (A＞0，φ＞0)的部分圖象如圖所示，設P是圖象的
一個最高點，M，N是圖象與x軸的交點，若tan∠MPN=-2，則A=

1

．

Answer 1

分析：依題意，可求得y=Asin（

π

2

x+φ）（A＞0，φ＞0）的周期T=4=MN，設點P在x軸上的射影為Q，tan∠MPQ=

1

A

，tan∠NPQ=

3

A

，利用∠MPQ+∠NPQ=∠MPN，tan∠MPN=-2，即可求得A．

解答：解：∵y=Asin（

π

2

x+φ）的周期T=

2π

π 2

=4，由圖知，MN=T=4，
又P是圖象的一個最高點，設點P在x軸上的射影為Q，則MQ=

1

4

T=1，QN=

3

4

T=3，

∴tan∠MPQ=

1

A

，tan∠NPQ=

3

A

，
∵∠MPQ+∠NPQ=∠MPN，tan∠MPN=-2，
∴tan（∠MPQ+∠NPQ）=

tan∠MPQ+tan∠NPQ

1-tan∠MPQ•tan∠NPQ

=

1 A + 3 A

1- 1 A • 3 A

=-2，
∴

3

A2

-

2

A

-1=0，即（

1

A

-1）（

3

A

+1）=0，又A＞0，
∴

1

A

=1，A=1．
故答案為：1．

點評：本題考查y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質，考查兩角和的正切，考查正弦函數的周期與最值的應用，屬于中檔題．