Question

（本小題滿分16分）

已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)，⊙O：x²＋y²＝b²，點A，F分別是橢圓C的左頂點和左焦點．點P是⊙O上的動點．

（1）若P(－1，)，PA是⊙O的切線，求橢圓C的方程；

（2）是否存在這樣的橢圓C，使得是常數？

如果存在，求C的離心率；如果不存在，說明理由．

Answer 1

（1）∵P(－1，)在⊙O：x²＋y²＝b²，∴b²＝4．     ……………………………2分

又∵PA是⊙O的切線，∴PA⊥OP，∴·＝0，

即(－1，)·(－1＋a，)＝0，解得a＝4．                     

∴橢圓C的方程為＋＝1．                     ……………………………5分

（2）設F(c，0)，c²＝a²－b²，

設P(x₁，y₁)，要使得是常數，則有(x₁＋a)²＋y₁²＝l[(x₁＋c)²＋y₁²]，l是常數．

即b²＋2ax₁＋a²＝l(b²＋2cx₁＋c²)，                  ……………………………8分

比較兩邊， b²＋a²＝l(b²＋c²)，a＝lc，             ……………………………10分

   故cb²＋ca²＝a(b²＋c²)，即ca²－c³＋ca²＝a³，

即e³－2 e＋1＝0，                               ……………………………12分

 (e－1)( e²＋e－1)＝0，符合條件的解有e＝，

即這樣的橢圓存在，離心率為．              ……………………………16分