Question

（2012•吉林二模）下列函數f（x）中，滿足“對任意的x₁，x₂∈（-∞，0），當x₁＜x₂時，總有f（x₁）＞f（x₂）”的是（　　）

• A．f（x）=（x+1）²
• B．f（x）=ln（x-1）
• C．f(x)=

  1

  x

• D．f（x）=e^x

Answer 1

分析：根據題目所給條件，說明函數f（x）在（-∞，0）上應為減函數，其中選項A是二次函數，C是反比例函數，D是指數函數，圖象情況易于判斷，B是對數型的，從定義域上就可以排除．

解答：解：函數滿足“對任意的x₁，x₂∈（-∞，0），當x₁＜x₂時，總有f（x₁）＞f（x₂）”，說明函數在（-∞，1）上為減函數．
f（x）=（x+1）²是二次函數，其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸方程為x=-1，所以函數在（-∞，-1）單調遞減，在（-1，+∞）單調遞增，不滿足題意．
函數f（x）=ln（x-1）的定義域為（1，+∞），所以函數在（-∞，0）無意義．
對于函數f（x）=

1

x

，設x₁＜x₂＜0，則f（x₁）-f（x₂）=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1x2

，因為x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂0，x₂-x₁＞0，則

x2-x1

x1x2

＞0，所以f（x₁）＞f（x₂），故函數f（x）=

1

x

在（-∞，0）上為減函數．
函數f（x）=e^x在（-∞，+∞）上為增函數．
故選C．

點評：本題考查了函數的單調性，解決此題的關鍵，是能根據題目條件斷定函數為（-∞，0）上的減函數．