Question

甲、乙、丙3人各進行1次射擊，若3人擊中目標的概率分別是，，．
求（1）3人中至少有1人擊中目標的概率；
（2）若乙擊5次，至少有兩次擊中目標的概率；
（3）乙至少要射擊幾次才能使擊中目標的概率大于98%；
（4）若三人同時射擊，恰有一人擊中目標的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）記3人中至少有1人擊中目標為事件A，則A的對立事件為3人都沒有擊中目標，由相互獨立事件概率的乘法公式計算可得P（），由對立事件的概率性質，計算可得答案；
（2）記乙擊5次，至少有兩次擊中目標為事件B，則B的對立事件為5次中擊中1次或沒有擊中1次，分別計算①5次中擊中1次與②5次中沒有擊中1次的概率，由互斥事件概率的加法公式，計算可得答案；
（3）設乙至少要射擊k次才能使擊中目標，分析可得其對立事件為k次都沒有擊中目標，并記為C，易得P（C），又由題意，可得1-P（C）=1-（）^k＞0.98，即（）^k＜0.02，解可得答案；
（4）分3種情況討論：①只有甲擊中，②只有乙擊中，③只有丙擊中，計算每種情況的概率，由互斥事件概率的加法公式，計算可得答案．
解答：解：（1）記3人中至少有1人擊中目標為事件A，則A的對立事件為3人都沒有擊中目標，
則P（）=（1-）（1-）（1-）=，
則P（A）=1-P（）=1-=，
（2）記乙擊5次，至少有兩次擊中目標為事件B，則B的對立事件為5次中擊中1次或沒有擊中，
若5次中擊中1次的概率為P₁=C₅¹××（1-）⁴=，
若5次中沒有擊中1次的概率P₂=（1-）⁵=，
則P（）=+=，
則P（B）=1-=；
（3）乙至少要射擊k次才能使擊中目標，其對立事件為k次都沒有擊中目標，記為C，
則其概率P（C）=（1-）^k=（）^k，
若1-P（C）=1-（）^k＞0.98，即（）^k＜0.02，
解可得，k＞5，
則乙至少要射擊5次才能使擊中目標；
（4）分3種情況討論：
①只有甲擊中，其概率為P₃=（）（1-）（1-）=，
②只有乙擊中，其概率為P₄=（1-）（）（1-）=，
③只有丙擊中，其概率為P₅=（1-）（1-）（）=，
則恰有一人擊中目標的概率P=P₃+P₄+P₅=．
點評：本題考查相互獨立事件、對立事件、n次獨立重復實驗中恰有k次發生的概率計算，涉及范圍較大，解題時要分清事件之間的關系．