Question

【題目】【蘇北四市2016-2017學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期期末調(diào)研】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)為橢圓的左頂點(diǎn)，為橢圓上位于軸上方的點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)

，過點(diǎn)作的垂線，交軸于點(diǎn)．

（ⅰ）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，求的外接圓的方程；

（ⅱ）設(shè)直線交橢圓于另一點(diǎn)，求的面積的最大值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）由題意，得解得則，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．………………………………………4分

（2）由題可設(shè)直線的方程為，，則，

所以直線的方程為，則．

(i)當(dāng)直線的斜率為，即時(shí)，，，，

因?yàn)?/span>，所以圓心為，半徑為，

所以的外接圓的方程為．……………………………8分

(ii)聯(lián)立消去并整理得，，

解得或，所以，……………………10分

直線的方程為，同理可得，，

所以，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即過原點(diǎn)．

所以的面積，……14分

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“”．

所以的面積的最大值為．…………………………………………16分