Question

已知函數f（x）（x∈R）滿足：對于任意實數x，y，都有f(x+y)=f(x)+f(y)+

1

2

恒成立，且當x＞0時，f(x)＞-

1

2

恒成立；
（1）求f（0）的值，并例舉滿足題設條件的一個特殊的具體函數；
（2）判定函數f（x）在R上的單調性，并加以證明；
（3）若函數F（x）=f（max{-x，2x-x²}）+f（-k）+1（其中max{a，b}=

a，(a≥b) b，(a＜b)

）有三個零點x₁，x₂，x₃，求u=（x₁+x₂+x₃）+x₁•x₂•x₃的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）代入x=y=0，可求；
（2）根據函數的單調性的定義證明即可；
（3）根據抽象函數的性質，將函數有三個零點的條件轉化為方程的根的判定，結合最值函數的圖象，利用韋達定理根與系數的關系構造函數求解．

解答：解：（1）令x=y=0得：f（0+0）=f（0）+f（0）+

1

2

?f（0）=-

1

2

；
例：f（x）=x-

1

2

，驗證：f（x+y）=x+y+

1

2

=（x-

1

2

）+（x-

1

2

）+

1

2

=f（x）+f（y）+

1

2

．
（2）判定f（x）在R上單調遞增．
證明：任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）+

1

2

=f（x₂-x₁）+

1

2

，
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞-

1

2

，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₂）＞f（x₁），函數是增函數．
（3）由F（x）=0?f（max{-x，2x-x²}）+f（-k）+

1

2

=-

1

2

．
∴f（max{-x，2x-x²}+（-k））=f（0），
又由（2）知f（x）是R上的增函數
∴max{-x，2x-x²}+（-k）=0?k=max{-x，2x-x²}，
設g（x）=max{-x，2x-x²}，
則g（x）=

-x，x∈(-∞，0)∪(3，+∞) 2x-x2，  x∈[0，3]

F（x）有三個零點?k=max{-x，2x-x²}有三個解．如圖，

當0＜K＜1時y=k與y=max{-x，2x-x²}的圖象有三個不同的交點，橫坐標依是x₁，x₂，x₃．
則x₁=-k，x₂，x₃ 是方程2x-x²=k的兩根，則x₂+x₃=2，x₂•x₃=k．
∴u=2-k-k²，（0＜k＜1），
u=-(k+

1

2

)2+

9

4

，在（0，1）上單調遞減，
∴u∈（0，2）
故u的取值范圍是（0，2）

點評：本題考查函數的單調性、函數的最值、方程的根的存在性及根與系數的關系．